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#141. NOIP2018提高组 day02 T2 game

统计

填数游戏

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个$n × m$的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字 0 或者数字 1),填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述,我们先给出一些定义: -我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即(行坐标,列坐标)。(注意: 行列坐标均从 0 开始编号)

-合法路径 P:一条路径是合法的当且仅当:

1.这条路径从矩形表格的左上角的格子$(0,0)$出发,到矩形的右下角格子$(n − 1, m − 1)$结束;

2.在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是P1:$(0,0)$ → $(0,1)$ →$(1,1)$和P2:$(0,0)$ → $(1,0)$ → $(1,1)$。

141_1.jpg

对于一条合法的路径 P,我们可以用一个字符串$w(P)$来表示,该字符串的长度为$n + m − 2$,其中只包含字符“$R$”或者字符“$D$”,第 $i$ 个字符记录了路径 $P$ 中第 $i$ 步的移动方法,“$R$”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,“$D$”表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如,上图中对于路径$P_1$,有$w(P_1) = "RD"$;而对于另一条路径$P_2$, 有$w(P_2)$ = "$DR$"。

同时,将每条合法路径 $P$经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长度为$n + m − 1$的 $01$ 字符串,记为 $s(P)$。例如,如果我们在格子$(0,0)$和$(1,0)$上填入数字0,在格子(0,1)和(1,1)上填入数字 1(见上图红色数字)。那么对于路径P1,我们可以得到s(P1) = "011",对于路径$P_2$,有$s(P_2) = "001"$。

游戏要求小 D 找到一种填数字 0、1 的方法,使得对于两条路径$P_1,P_2$,如果$w(P_1) > w(P_)$,那么必须$s(P_1) ≤ s(P_2)$。我们说字符串 a 比字符串 b 小,当且仅当字符串 a 的字典序小于字符串b 的字典序,字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心,小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字的方法满足游戏的要求?

小 D 能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填 0、1 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对$10^9 + 7$取模的结果。

【输入格式】

输入文件共一行,包含两个正整数 n、m,由一个空格分隔,表示矩形的大小。其中 n 表示矩形表格的行数,m 表示矩形表格的列数。

【输出格式】

输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填 0、1 的方法能满足游戏的要求。注意:输出答案对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

【输入输出样例 1】

输入

2 2    

输出

12

【样例解释】

141_2.jpg

对于$2 × 2$棋盘,有上图所示的 $12$ 种填数方法满足要求。

【输入输出样例 2】

输入

3 3    

输出

112

【输入输出样例 3】

输入

5 5    

输出

7136

【数据规模与约定】

141_3.jpg